Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 103 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Определение 8.8. Гладкий путь γ
1
: [a
1
, b
1
] → R
n
называется эквивалентным гладкому
пути γ
2
: [a
2
, b
2
] → R
n
(что будем обозначать как γ
1
∼ γ
2
), если существует непрерывно
дифференцируемое отображение ϕ : [a
1
, b
1
] → [a
2
, b
2
] такое, что
1. ϕ([a
1
, b
1
]) = [a
2
, b
2
] ,
2. ϕ
0
> 0 .
3. γ
1
= γ
2
◦ ϕ .
Заметим, что введенное понятие действительно является отношением эквивалентно-
сти, т.е. обладает свойствами
1. ∀γ : γ ∼ γ ,
2. γ
1
∼ γ
2
⇒ γ
2
∼ γ
1
,
3. γ
1
∼ γ
2
и γ
2
∼ γ
3
⇒ γ
1
∼ γ
3
,
столь хорошо известными в отношении знака равенства.
Это определение, полный смысл которого станет ясен чуть позже, позволяет нам
отождествить разные параметризованные пути, если, во-первых, их образы совпадают, и
если, во-вторых, «движение» вдоль этих путей совершается в одинаковом направлении:
векторы скоростей (т.е. производные путей), отнесенные к одной и той же точке графика
этих путей, параллельны и сонаправлены:
γ
1
∼ γ
2
⇒ γ
0
1
(t) = ϕ
0
(t) ·γ
0
2
(ϕ(t)) .
Определение 8.9. Класс эквивалентных между собой простых гладких путей называет-
ся ориентированной [гладкой] кривой. Каждый путь данного класса эквивалентности
(т.е. кривой) называется реализацией или параметризацией данной кривой. Кривая на-
зывается замкнутой или незамкнутой, если таковыми являются ее параметризации.
Если γ : [a, b] → R
n
— одна из параметризаций незамкнутой кривой, то точка A = γ(a)
называется началом кривой, а точка B = γ(b) — ее концом.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
