Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 141 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
то она может быть представлена как объединение двух областей, одна из которых во-
обще не имеет внутренних границ, а другая имеет внутренних границ на одну меньше
по сравнению исходной областью, см. рисунок 25. Индукция сводит эту ситуацию к
триангулируемой.
9.5. Независимость криволинейного интеграла от пути
В этом вопросе нам будет удобно вернуться к координатам xy на плоскости.
Теорема 9.9. Пусть P, Q : R
2
→ R — непрерывно дифференцируемые функции и
ω = P dx + Qdy. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. ∃f : R
2
→ R : ω = df,
2.
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
на R
2
, т.е. dω = 0,
3. интеграл
R
γ
ω не зависит от пути γ, если начало A = γ(a) и конец B = γ(b)
пути γ : [a, b] → R
2
фиксированы.
Доказательство. 1 ⇒ 3 Пусть γ
1
и γ
2
— два пути, начало и конец которых совпада-
ют. Пусть −γ
2
является путем, противоположным пути γ
2
. Область, лежащую между
образами путей γ
1
и γ
2
обозначим через D. Тогда
Z
γ
1
df −
Z
γ
2
df =
Z
γ
1
df +
Z
−γ
2
df =
Z
∂D
df =
Z
D
d(df) = 0 .
1 ⇒ 2 В случае ω = df = P dx + Qdy имеем P =
∂f
∂x
и Q =
∂f
∂y
, откуда виду равенства
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
=
∂
2
f
∂x
2
∂x
1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- …
- следующая ›
- последняя »
