Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 145 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
если отрезки, соединяющие точку M и точки границы ∂D целиком лежат в области D.
Пусть ω = P dx + Qdy и dω = 0 в звездной области D. Без ограничения общности можем
считать, что D является звездной относительно начала координат. Тогда для точек (x, y)
области D можно определить функцию
f(x, y) =
1
Z
0
[P (tx, ty) · x + Q(tx, ty) · y] dt .
При этом
∂f
∂x
=
1
Z
0
h
∂P
∂x
· tx + P +
∂Q
∂x
· ty
i
dt =
1
Z
0
h
∂P
∂x
· tx +
∂P
∂y
· ty
i
dt +
1
Z
0
P dt
=
1
Z
0
t ·
dP
dt
dt +
1
Z
0
P dt = tP (tx, ty)
t=1
t=0
−
1
Z
0
P dt +
1
Z
0
P dt = P (x, y)
и, аналогично,
∂f
∂y
= Q(x, y) ,
откуда ω = df.
На самом деле для справедливости рассматриваемой теоремы (о точности замкну-
той формы) существенным является «стягиваемость» области в точку. Звездную область
относительно точки M можно стянуть в точку M . Если же область имеет «дыры» (вы-
колотые точки), — что препятствует стягиванию области — теорема не верна.

Страницы