Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 147 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
было линейно по каждому аргументу и антисимметрично. Для этого достаточно опре-
делить это отображение на всевозможных наборах базисных 1-форм dx
i
1
, . . . dx
i
k
при
i
1
< . . . < i
k
. Напомним, что форма dx
i
является проекцией векторов на i-ю координату:
dx
i
(v) = v
i
, v = (v
1
, . . . v
n
) =
n
X
i=1
v
i
e
i
.
Мы положим по определению
dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
(e
j
1
, . . . e
j
k
) =
(
1 , при (i
1
, . . . i
k
) = (j
1
, . . . j
k
) ,
0 , в остальных случаях ,
при этом считается, что i
1
< . . . < i
k
и j
1
< . . . < j
k
. Это, конечно, означает, что k-формы
dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
(при всех комбинациях возрастающих последовательностей индексов)
образуют базис в пространстве k-форм. Таким образом, в случае k-формы ω имеем
ω =
X
i
1
<...<i
k
ω
i
1
...i
k
dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
.
Отметим, что
α
1
∧ . . . ∧ α
k
(v
1
, . . . v
k
) = det(α
i
(v
j
)) =
α
1
(v
1
) . . . α
1
(v
k
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
α
k
(v
1
) . . . α
k
(v
k
)
, (10.1)
в частности, dx
i
1
∧. . . ∧dx
i
k
(v
1
, . . . v
k
) — минор матрицы векторов-столбцов (v
1
, . . . v
k
),
отвечающий выбору строк с номерами i
1
, . . . i
k
:
dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
(v
1
, . . . v
k
) =
v
i
1
1
. . . v
i
1
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v
i
k
1
. . . v
i
k
k
,

Страницы