Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 146 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
10. Понятие о дифференциальных формах
10.1. Внешние формы
В этом разделе в качестве векторного пространства будет выступать V = R
n
.
Определение 10.1. Полилинейная и антисимметричная функция ω : V
k
→ R называется
внешней k-формой.
Внешняя k-форма — это функция k переменных векторов
y = ω(x
1
, . . . x
k
) , x
i
∈ R
n
.
Напомним, что полилинейность означает линейность по каждому аргументу, а анти-
симметричность — обращение в ноль всякий раз, когда какие-либо два аргумента совпа-
дают, что влечет, также, изменение знака при перестановке местами двух аргументов.
Формы объема являются частным случаем внешних k-форм при k = n. Внешняя
форма однозначно определяется своими значениями на базисных векторах. Именно, набор
C
k
n
чисел
ω(e
i
1
, . . . e
i
k
) ,
где e
1
, . . . e
n
— базис в пространстве V и i
1
< i
2
< . . . < i
k
, однозначно задают (по
линейности и антисимметричности) форму ω. Отсюда можем заключить, что внешние k-
формы образуют векторное пространство размерности C
k
n
(k 6 n). В частности, 1-формы
и (n −1)-формы образуют n-мерные векторные пространства. Нетривиальных k-форм при
k > n нет.
Пусть α
1
, . . . α
k
— линейные 1-формы. Мы хотим каждому такому набору 1-форм
поставить в соответствие k-форму, которую будем обозначать α
1
∧ . . . ∧ α
k
и называть
внешним произведением форм α
1
, . . . α
k
. При этом мы хотим, чтобы отображение
(α
1
, . . . α
k
) 7→ α
1
∧ . . . ∧α
k
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- …
- следующая ›
- последняя »
