Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 148 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
здесь v
ij
— i-я координата вектора v
j
.
Для доказательства (10.1) заметим, что обе части равенства являются полилинейными
и антисимметричными как по векторам, так и по формам, а следовательно, достаточно
проверить равенство на базисных комбинациях форм и векторов. Последнее же верно в
силу определения. Отметим, также, что равенство (10.1) доказывает само существование
внешнего произведения α
1
∧ . . . ∧ α
k
.
Пример. Пусть V = R
3
со стандартным базисом (i, j, k). Тогда пространство 1-форм
трехмерно с базисом (dx, dy, dz). Внешняя 1-форма имеет вид
ω = A dx + B dy + C dz , (A, B, C ∈ R) .
Пространство 2-форм также трехмерно: C
2
3
= 3. Базис, например, образуют формы
dx∧ dy , dx∧ dz , dy∧ dz, однако чаще в качестве базиса выбирают dy∧dz , dz∧dx , dx∧dy.
Внешняя 2-форма ω имеет вид
ω = A dy ∧dz + B dz ∧ dy + C dx ∧dy .
Пространство 3-форм одномерно. Базис образует форма объема dx∧dy∧dz, любая другая
ей пропорциональна.
Определим внешнее произведение двух внешних форм. Мы хотим каждой паре форм
(α, β), где α — k-форма, а β — m-форма, поставить в соответствие (k + m)-форму,
обозначаемую α ∧ β и называемую внешним произведением форм α и β, причем так,
чтобы отображение
(α, β) 7→ α ∧β
было линейно по каждому аргументу. Для этого достаточно определить такое отображе-
ние на мономах α = α
1
∧··· ∧α
k
и β
1
∧. . . ∧β
m
, где α
i
и β
j
— 1-формы. В этом случае
по определению полагаем
(α
1
∧ ··· ∧ α
k
) ∧(β
1
∧ . . . ∧ β
m
) = α = α
1
∧ ··· ∧ α
k
∧ β
1
∧ . . . ∧ β
m
.
В силу определения, если α, β и γ, соответственно, k, m и p-формы:
(α ∧β) ∧γ = α ∧(β ∧ γ) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- …
- следующая ›
- последняя »
