Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 150 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
фазовом пространстве R
2n
. Найдем форму ω
n
Опр.
= ω ∧ . . . ∧ω
| {z }
n раз
.
12
Замечая, что 2-формы
dp
i
∧ dq
i
и dp
j
∧ dq
j
перестановочны между собой (знак меняется дважды), имеем
ω
n
= n! dp
1
∧ dq
1
∧ . . . ∧dp
n
∧ dq
n
= (−1)
n(n−1)
2
n! dp
1
∧ . . . ∧dp
n
∧ dq
1
∧ . . . ∧dq
n
.
13
Определим теперь внутреннее произведение вектора a и k-формы ω. Оно обозначается
через ayω и определяется как следующая (k − 1)-форма
ayω(x
1
, . . . x
k−1
) = ω(a, x
1
, . . . x
k−1
) .
Если ω — моном α
1
∧ . . . ∧α
k
, то
ayα
1
∧. . .∧α
k
= α
1
(a)α
2
∧. . .∧α
k
−α
2
(a)α
1
∧α
3
∧. . .∧α
k
+. . .+(−1)
k+1
α
k
(a)α
1
∧. . .∧α
k−1
.
Эта формула является ничем иным, как разложением Лапласа определителя по первому
столбцу. Ее удобно записать в виде
ayα
1
∧ . . . ∧α
k
=
k
X
i=1
(−1)
i+1
α
i
(a)α
1
∧ . . . cα
i
. . . ∧ α
k
, (10.2)
где шляпка над α
i
во внешнем произведении означает, что этого множителя нет.
Например, в случае v = (A, B, C) ∈ V = R
3
и ω = dx ∧ dy ∧ dz находим
vydx∧dy∧dz = dx(v) dy∧dz−dy(v) dx∧dz+dz(v) dx∧dy = A dy∧dz+B dz∧dx+C dx∧dy ,
а в n-мерном случае
aydx
1
∧ . . . ∧dx
n
=
n
X
i=1
(−1)
i+1
a
i
dx
1
∧ . . .
c
dx
i
. . . ∧ dx
n
, (10.3)
где a
i
— i-я координата вектора a.
12
ω не является 1-формой или мономом и потому ее внешнее произведение на саму себя не обязано быть
нулем
13
чтобы объяснить знак в последнем выражении достаточно заметить, что мы переставляем dp
2
с dq
1
, далее
dp
3
с dq
1
∧ dq
2
и т.д., откуда число перестановок равно 1 + 2 + . . . + (n − 1)

Страницы