Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 151 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
10.2. Дифференциальные формы
Определение 10.2. Дифференциальной k-формой в области D ⊂ R
n
называется функция
ω, которая при каждом фиксированном x ∈ D ⊂ R
n
является внешней k-формой ω
x
3.
Таким образом, дифференциальные формы — это внешние формы с коэффициентами,
зависящими от переменной x:
ω
x
=
X
i
1
<...<i
k
f
i
1
...i
k
(x) dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
.
Функции f
i
1
...i
k
мы будем считать непрерывно дифференцируемыми столько раз, сколько
это нужно.
В качестве примера вычислим значение формы
ω = x
2
dx
2
∧ dx
3
− 2x
1
x
2
4
dx
2
∧ dx
4
в точке x = (5, −1, 0, 2, 4) ∈ R
5
на векторах v
1
= (0, 2, 2, 4, 3) и v
2
= (2, 1, −2, 3, 1).
Находим, во-первых,
ω
x
= −dx
2
∧ dx
3
− 40dx
2
∧ dx
4
,
далее,
dx
2
∧ dx
3
(v
1
, v
2
) =
2 1
2 −2
= −6 , dx
2
∧ dx
4
(v
1
, v
2
) =
2 1
4 3
= 2 ,
откуда
ω
x
(v
1
, v
2
) = 6 − 80 = −74 .
Каждой дифференциальной k-форме (с гладкими коэффициентами) мы хотим поста-
вить в соответствие (k + 1)-форму, обозначаемую dω и называемую дифференциалом
формы ω. Именно, если
ω =
X
i
1
<...<i
k
f
i
1
...i
k
dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- …
- следующая ›
- последняя »
