Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 149 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Это свойство (ассоциативность) дает основание для обозначения α ∧ β ∧ γ в случае
произведения трех форм.
Перестановка сомножителей осуществляется по следующему правилу. Если α и β,
соответственно, k и m-формы, то
α ∧β = (−1)
km
β ∧ α .
Доказательство (в силу линейности) достаточно провести для мономов. В этом случае
α
1
∧. . .∧α
k
∧β
1
∧. . .∧β
m
= (−1)
k
β
1
∧α
1
∧. . .∧α
k
∧β
2
∧. . .∧β
m
= (−1)
km
β
1
∧. . .∧β
m
∧α
1
∧. . .∧α
k
.
Примеры. 1) В случае V = R
3
рассмотрим произведение 1-форм α = A dx+B dy+C dz
и β = E dx + F dy + G dz:
α ∧ β = (A dx + B dy + C dz) ∧ (E dx + F dy + G dz)
= AF dx ∧ dy + AG dx ∧ dz + BE dy ∧ dx + BG dy ∧ dz + CE dz ∧ dx + CF dz ∧ dy
= (AF − BE) dx ∧ dy + (CE − AG) dz ∧ dx + (BG −CF ) dy ∧ dz
=
dy ∧ dz dz ∧ dx dx ∧ dy
A B C
E F G
.
2) Найдем теперь произведение 1-формы α и 2-формы ω = P dy ∧dz+Q dz ∧dx+R dx∧dy:
α ∧ ω = (A dx + B dy + C dz) ∧ (P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy)
= (AP + BQ + CR) dx ∧dy ∧ dz
(т.к. dx ∧ dy ∧ dz = dz ∧ dx ∧ dy = dy ∧ dz ∧ dx).
3) В классической механике важную роль играет 2-форма ω = dp
1
∧dq
1
+ . . . + dp
n
∧dq
n
,
которая определяет так называемую симплектическую структуру в фазовом пространстве.
Здесь q
i
и p
i
так называемые обобщенные координаты и импульсы — координаты в
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- …
- следующая ›
- последняя »
