Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 157 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство проведем по индукции. Для 0-формы f : R
m
→ R это равенство экви-
валентно свойству инвариантности первого дифференциала
dθ
∗
f = d(f ◦θ) =
n
X
j=1
∂(f ◦θ)
∂x
j
dx
j
=
n
X
j=1
m
X
i=1
∂f
∂y
i
◦ θ ·
∂y
i
∂x
j
dx
j
=
m
X
i=1
θ
∗
∂f
∂y
i
· θ
∗
dy
i
= θ
∗
m
X
i=1
∂f
∂y
i
dy
i
= θ
∗
df .
Пусть формула (10.6) доказана для j-форм при 0 6 j 6 k − 1. Докажем ее для k-форм.
Прежде всего, заметим, что
dθ
∗
(dy
i
1
∧ . . . ∧ dy
i
k
) = dθ
∗
d(y
i
1
dy
i
2
∧ . . . ∧ dy
i
k
) = ddθ
∗
(y
i
1
dy
i
2
∧ . . . ∧ dy
i
k
) = 0 .
Тогда в силу равенства (10.4) формула верна для мономов
dθ
∗
(f dy
i
1
∧ . . . ∧ dy
i
k
) = d[θ
∗
f ·θ
∗
(dy
i
1
∧ . . . ∧ dy
i
k
)]
= (dθ
∗
f) ∧ θ
∗
(dy
i
1
∧ . . . ∧ dy
i
k
) + θ
∗
f ·dθ
∗
(dy
i
1
∧ . . . ∧ dy
i
k
)
= (θ
∗
df) ∧ θ
∗
(dy
i
1
∧ . . . ∧ dy
i
k
) = θ
∗
(df ∧dy
i
1
∧ . . . ∧ dy
i
k
) = θ
∗
d(f dy
i
1
∧ . . . ∧ dy
i
k
) ,
но тогда (по линейности) она верна и для произвольной k-формы.
Подчеркнем, что равенство (9.2) является обоснованием корректности определения
дифференциала формы — независимости дифференциала от выбора системы координат.
Действительно, переход к другой системе координат осуществляется непрерывно диф-
ференцируемым взаимно однозначным отображением θ : R
n
x
→ R
n
y
, отображение же θ
∗
осуществляет при этом замену переменных в формах.
В качестве примера найдем прообраз формы ω = dx ∧dy ∧dz при сферической замене
переменных
Θ :
x = r cos ϕ sin θ ,
y = r sin ϕ sin θ ,
z = r cos θ .

Страницы