Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 160 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
11.1.2. Дивергенция векторного поля
Если градиент функции определяется заданием евклидовой структуры пространства, т.е.
заданием скалярного произведения, то дивергенция определяется заданием формы объема
на R
n
. Если Ω — фиксированная ненулевая форма объема, т.е. n-форма, то дивергенцией
векторного поля a (т.е. функции R
n
→ R
n
) называется функция div a : R
n
→ R такая,
что
d(ayΩ) = div a · Ω .
В смысле этого определения дивергенция не зависит от евклидовой структуры, а зависит
только от формы объема. Однако в евклидовых пространствах форму объема как прави-
ло выбирают согласованно со скалярным произведением. Именно, в R
n
есть выделенная
форма объема — Ω = dx
1
∧ . . . ∧ dx
n
. Такое согласование формы объема с евклидо-
вой структурой приводит к зависимости дивергенции от евклидовой структуры. Следует
заметить, что дивергенция не зависит от ориентации пространства.
Получим формулу для дивергенции в R
n
в декартовых координатах, считая, что a =
(a
1
, . . . a
n
).
d(aydx
1
∧. . .∧dx
n
) = d
n
X
i=1
(−1)
i+1
a
i
dx
1
∧. . .
d
dx
i
. . .∧dx
n
=
n
X
i=1
da
i
∧dx
1
∧. . .
d
dx
i
. . .∧dx
n
=
n
X
i=1
n
X
j=1
(−1)
i+1
∂a
i
∂x
j
dx
j
∧dx
1
∧. . .
d
dx
i
. . .∧dx
n
=
n
X
i=1
(−1)
i+1
∂a
i
∂x
i
dx
i
∧dx
1
∧. . .
d
dx
i
. . .∧dx
n
=
n
X
i=1
∂a
i
∂x
i
dx
1
∧ . . . . . . ∧ dx
n
,
откуда
div a =
n
X
i=1
∂a
i
∂x
i
=
∂a
1
∂x
1
+ . . . +
∂a
n
∂x
n
.

Страницы