Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 161 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
11.1.3. Ротор векторного поля
В трехмерном евклидовом пространстве можно ввести еще одну важную операцию
векторного анализа — ротор. Фиксируем опять форму объема Ω в R
3
. Ротор поля
a : R
3
→ R
3
определяется как векторное поле rot a : R
3
→ R
3
такое, что
(rot a)yΩ = dα ,
где α — дифференциальная 1-форма, определенная равенством
α(h) = ha|hi.
Следует подчеркнуть, что данное определение определяет ротор однозначно. Это вы-
текает из того факта, что в случае ненулевой формы объема Ω
byΩ = 0 ⇐⇒ b = 0 ,
см. (10.2).
Ротор поля зависит как от евклидовой структуры, так и от формы объема, причем,
очевидно, он зависит от ориентации пространства.
Найдем формулу для вычисления ротора в декартовых координатах. Полагая a =
(a
1
, a
2
, a
3
) находим
α = a
1
dx
1
+ a
2
dx
2
+ a
3
dx
3
и
dα =
∂a
3
∂x
2
−
∂a
2
∂x
3
dx
2
∧ dx
3
+
∂a
1
∂x
3
−
∂a
3
∂x
1
dx
3
∧ dx
1
+
∂a
2
∂x
1
−
∂a
1
∂x
2
dx
1
∧ dx
2
.
Кроме того при b = (b
1
, b
2
, b
3
) в силу (10.2)
bydx
1
∧ dx
2
∧ dx
3
= b
1
dx
2
∧ dx
3
− b
2
dx
1
∧ dx
3
+ b
3
dx
1
∧ dx
2
= b
1
dx
2
∧ dx
3
+ b
2
dx
3
∧ dx
1
+ b
3
dx
1
∧ dx
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- …
- следующая ›
- последняя »
