Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 163 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
11.2. Оператор Гамильтона
Удобно описывать рассмотренные операции в терминах оператора Гамильтона ∇. Он
определяется как формальный оператор дифференцирования
∇ = i
∂
∂x
+ j
∂
∂y
+ k
∂
∂z
,
где i, j, k — стандартный базис в R
3
. Действие его на функцию f : R
3
→ R определяется
как градиент функции и формально записывается как умножение вектора ∇ на число f :
∇f = grad f .
Формальное скалярное умножение оператора Гамильтона на векторное поле совпадает с
дивергенцией векторного поля:
h∇|ai = ∇ ·a = div a ,
а формальное векторное произведение — с ротором векторного поля:
∇ ×a = rot a .
Оператор Гамильтона удобен для запоминания формул векторного анализа. Например,
дифференциальные операции второго порядка примут вид
div grad f = ∇ · ∇f = ∇
2
f = 4f ,
rot grad f = ∇ × ∇f = 0 ,
div rot a = ∇ · ∇ × a = 0 .
rot rot a = ∇ × (∇ × a) = ∇(∇ · a) − (∇ · ∇)a = grad div a − 4a ,
в последнем случае мы воспользовались формулой
a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) , (11.1)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- …
- следующая ›
- последняя »
