Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 164 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
причем действие оператора Лапласа на векторное поле определяется покомпонентно.
Далее, в силу того, что оператор Гамильтона является оператором дифференцирова-
ния и, следовательно, подчинен правилу Лейбница дифференцирования произведений,
получим
grad (fg) = ∇(fg) = g∇f + f∇g = g grad f + f grad g ,
div (fa) = ∇ ·(fa) = ∇f · a + f∇ · a = grad f · a + fdiv a ,
rot (fa) = ∇ × (fa) = ∇f × a + f∇× a = grad f × a + frot a .
Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием произведений векторных полей:
div (a ×b) = ∇ ·(a ×b) = b · (∇ × a) − a · (∇× b) ,
grad (a · b) = ∇(a · b) = (b · ∇)a + (a · ∇)b + b ×(∇ ×a) + a × (∇ × b)
= (b · ∇)a + (a · ∇)b + b × rot a + a × rot b ,
rot (a × b) = ∇ × (a × b) = (b · ∇)a − (a ·∇)b −b(∇ ·a) + a(∇ · b)
= (b · ∇)a − (a · ∇)b − b div a + a div b .
Первую из этих формул легко увидеть. Применяя правило Лейбница, напишем:
∇ · (a × b) =
a
∇ · (a × b) +
b
∇ · (a × b) ,
где значок сверху оператора Гамильтона указывает на какой из множителей действует
данное дифференцирование. Остается воспользоваться свойствами смешанного произве-
дения:
a
∇ · (a × b) = b · (∇× a) ,
b
∇ · (a × b) = −a · (∇× b) .
Для доказательства второй формулы поступим аналогично:
∇(a · b) =
a
∇(a · b) +
b
∇(a · b) ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- …
- следующая ›
- последняя »
