Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 166 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Мы не будем требовать того, чтобы область определения отображения θ совпадала со
всем пространством, но мы будем предполагать, что отображение θ является обратимым
на своей области определения и что обратное отображение ψ = θ
−1
является непрерывно
дифференцируемым.
В этом случае координаты u
1
, . . . u
n
называют криволинейными координатами на
пространстве R
n
x
. Это, конечно, означает, что криволинейными координатами на R
n
x
на-
зываются координаты функции
ψ :
u
1
= u
1
(x
1
, . . . x
n
) ,
.
.
.
u
n
= u
n
(x
1
, . . . x
n
) .
Заметим, далее, что евклидова структура на пространстве векторов индуцирует ев-
клидову структуру на пространстве линейных 1-форм. Именно, если форма α дуальна
вектору a, а форма β дуальна вектору b, т.е.
∀h : α(h) = ha|hi, β(h) = hb|hi,
то по определению
hα|βi = ha|bi.
В этом смысле формы dx
1
. . . dx
n
образуют ортонормированный базис в пространстве
1-форм.
Настало время сделать важное замечание. Тот факт, что символ u
i
обознача-
ет как независимую координату в пространстве R
n
u
, так и координатную функцию
u
i
(x
1
, . . . x
n
), может привести к некоторому недоразумению. Именно, в первом случае
формы du
1
, . . . du
n
образуют ортонормированный базис. Во втором случае это, вообще
говоря, не так. Дело в том, что во втором случае форма du
i
является дифференциа-
лом функции u
i
(x), т.е. формой на пространстве R
n
x
, а не на пространстве R
n
u
. В тех
случаях, когда возникает опасность смешения этих понятий, для формы на R
n
x
следует
использовать обозначение ψ
∗
du
i
. На практике же такое смешение не является опасным,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- …
- следующая ›
- последняя »
