Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 168 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Напомним, что матрица перехода, связывающая ортонормированные базисы, является
ортогональной, т.е. обратная матрица совпадает с транспонированной. Отсюда
σ
j
=
1
h
j
n
X
i=1
∂x
i
∂u
j
dx
i
и тогда
1 = |σ
j
|
2
=
1
h
2
j
n
X
i=1
∂x
i
∂u
j
2
,
откуда
h
j
=
v
u
u
t
n
X
i=1
∂x
i
∂u
j
2
.
Отметим геометрический смысл коэффициентов Ламе. Если фиксировать все криво-
линейные координаты кроме координаты u
j
, то отображение θ индуцирует некоторый
путь u
j
7→ γ(u
j
) = θ(u
1
, . . . u
n
), образ которого можно назвать координатной кривой u
j
.
Вектор
r
j
=
∂x
1
∂u
j
, . . .
∂x
n
∂u
j
является касательным вектором к координатной кривой u
j
. Коэффициент Ламе h
j
сов-
падает с длиной этого вектора: h
j
= |r
j
|. Заметим, что единичные векторы s
i
= h
−1
i
r
i
являются дуальными к формам σ
i
и, следовательно, образуют ортонормированный базис
(s
1
, . . . s
n
). Действительно, в силу ортогональности матрицы перехода
1
h
j
∂x
i
∂u
j
:
σ
j
(s
k
) =
1
h
j
n
X
i=1
∂x
i
∂u
j
dx
i
r
k
h
k
=
1
h
j
h
k
n
X
i=1
∂x
i
∂u
j
∂x
i
∂u
k
= δ
jk
.
Вычислим коэффициенты Ламе в случае цилиндрических и сферических координат.

Страницы