Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 170 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда
h
r
= h
1
=
r
∂x
∂r
2
+
∂y
∂r
2
+
∂z
∂r
2
=
q
cos
2
ϕ sin
2
θ + sin
2
ϕ sin
2
θ + cos
2
θ = 1 ,
h
θ
= h
2
=
r
∂x
∂θ
2
+
∂y
∂θ
2
+
∂z
∂θ
2
=
q
r
2
cos
2
ϕ cos
2
θ + r
2
sin
2
ϕ cos
2
θ + r
2
sin
2
θ = r ,
h
ϕ
= h
3
=
s
∂x
∂ϕ
2
+
∂y
∂ϕ
2
+
∂z
∂ϕ
2
=
q
r
2
sin
2
ϕ sin
2
θ + r
2
cos
2
ϕ sin
2
θ + 0 = r sin θ .
В этом случае ортонормированный базис 1-форм образуют формы dr, rdθ, r sin θdϕ.
11.3.2. Градиент в криволинейных координатах
Пусть f : R
n
x
→ R — непрерывно дифференцируемая функция и u
1
, . . . u
n
— криволи-
нейные координаты на R
n
x
. Тогда
df =
n
X
i=1
∂f
∂u
i
du
i
=
n
X
i=1
1
h
i
∂f
∂u
i
σ
i
,
откуда
grad f =
n
X
i=1
1
h
i
∂f
∂u
i
s
i
.
В этой формуле производная по u
i
от функции f должна пониматься в смысле следую-
щего равенства:
∂f
∂u
i
=
∂(f ◦ θ)
∂u
i
◦ ψ .
Например, в градиент в сферических координатах в трехмерном пространстве будет
находиться по формуле:
grad f =
∂f
∂r
e
r
+
1
r
∂f
∂θ
e
θ
+
1
r sin θ
∂f
∂ϕ
e
ϕ
, (11.2)

Страницы