Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 178 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
12.2. Уравнения Максвелла
В качестве еще одного приложения теоремы Пуанкаре, рассмотрим с позиций исчисления
дифференциальных форм уравнения Максвелла:
div E = ρ (закон Гаусса) , (12.1)
div H = 0 (отсутствие магнитных зарядов) , (12.2)
rot E +
∂H
∂t
= 0 (закон Фарадея) , (12.3)
rot H −
∂E
∂t
= j (закон Ампера) . (12.4)
Здесь E = (E
x
, E
y
, E
z
) — электрическое поле, H = (H
x
, H
y
, H
z
) — магнитное поле,
ρ — плотность заряда и j = (j
x
, j
y
, j
z
) — плотность тока. Уравнения рассматриваются
при фиксированном времени t в трехмерном евклидовом пространстве R
3
(т.е. здесь
дивергенция и, конечно, ротор относятся к трехмерному случаю).
Удобно ввести четырехмерное пространство с координатами x, y, z, t. В этом простран-
стве введем формы
E = E
x
dx + E
y
dy + E
z
dz ,
∗E = Eydx ∧ dy ∧dz = E
x
dy ∧ dz + E
y
dz ∧ dx + E
z
dx ∧ dy ,
H = Hydx ∧ dy ∧ dz = H
x
dy ∧ dz + H
y
dz ∧ dx + H
z
dx ∧ dy ,
∗H = H
x
dx + H
y
dy + H
z
dz ,
j = jydx ∧dy ∧ dz = j
x
dy ∧ dz + j
y
dz ∧ dx + j
z
dx ∧ dy .
Тогда уравнения (12.2), (12.3) примут вид
d(E ∧ dt + H) = 0 , (12.5)

Страницы