Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 180 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
что в векторных обозначениях дает (ввиду dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz = −dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt)
div j +
∂ρ
∂t
= 0 . (12.7)
Это так называемое уравнение неразрывности.
Заметим, теперь, что в силу теоремы Пуанкаре, форма E ∧ dt + H является точной,
т.е. существует первообразная 1-форма:
E ∧ dt + H = dα , α = A
x
dx + A
y
dy + A
z
dz − ϕdt + df ,
где f — произвольная дифференцируемая функция (форма α определена неоднозначно).
Вектор A = (A
x
, A
y
, A
z
) называется векторным потенциалом, а функция ϕ — скалярным
потенциалом. Они определены неоднозначно. Фиксируя f, положим
α = G
x
dx + G
y
dy + G
z
dz − gdt .
Разумеется, вектор G = (G
x
, G
y
, G
z
) является векторным потенциалом, а функция g —
скалярным. Тогда
dα = rot GyΩ+
∂G
x
∂t
dt∧dx+
∂G
y
∂t
dt∧dy+
∂G
z
∂t
dt∧dz
−
∂g
∂x
dx+
∂g
∂y
dy+
∂g
∂z
dz+
∂g
∂t
dt
∧dt
= rot GyΩ −
h
∂G
x
∂t
+
∂g
∂x
dx +
∂G
y
∂t
+
∂g
∂y
dy +
∂G
z
∂t
+
∂g
∂z
dz
i
∧ dt ,
откуда
E = −
∂G
∂t
− grad g ,
H = rot G .
Прежде чем воспользоваться оставшейся частью уравнений Максвелла (т.е. уравнени-
ем (12.6)), удобно фиксировать калибровочную функцию f так, чтобы
div G +
∂g
∂t
= 0 .

Страницы