Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 182 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
13. Поверхностные интегралы
13.1. k-мерный объем k-мерного параллелепипеда в n-мерном про-
странстве
Рассмотрим параллелепипед G, построенный на векторах a
1
, a
2
, . . . a
k
в пространстве
R
n
(k 6 n). По определению, это множество точек x вида
x =
k
X
i=1
t
i
a
i
, t
i
∈ [0, 1] , i = 1, . . . k .
Считая, что векторы a
1
, a
2
, . . . a
k
являются линейно независимыми, мы можем построить
линейное k-мерное пространство (k-мерное подпространство в R
n
) с базисом из этих
векторов. Нас интересует объем параллелепипеда G относительно этого подпространства
— т.е. k-мерный объем. Мы будем обозначать его через S(G) в отличии от объема V (D)
n-мерного параллелепипеда D.
Теорема 13.1. Пусть A — матрица, составленная из векторов-столбцов a
1
, . . . a
k
.
Тогда
S(G) =
p
det(A
t
A) ,
где A
t
— транспонированная матрица.
Доказательство. Пусть v
1
, . . . v
k
— ортонормированный базис в подпространстве, натя-
нутом на векторы a
1
, . . . a
k
. Дополним его до ортонормированного базиса v
1
, . . . v
n
в R
n
.
Согласно теореме Фубини
S(G) = V (D) ,
где D — параллелепипед, построенный на векторах a
1
, . . . a
k
, v
k+1
, . . . v
n
.
Определим линейное отображение θ, полагая e
i
= θ(v
i
) , i = 1, . . . n, где e
1
, . . . e
n
—
исходный (стандартный) ортонормированный базис в R
n
. Отметим, что отображение θ

Страницы