Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 184 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Обозначим i-ю строку матрицы A через a
i
и j-й столбец матрицы B
через b
j
. Тогда
det(AB) =
ha
1
|b
1
i . . . ha
1
|b
k
i
.
.
. . . .
.
.
.
ha
k
|b
1
i . . . ha
k
|b
k
i
.
Как видим, эта величина является полилинейной антисимметричной формой относитель-
но векторов b
1
, . . . b
k
. Любая такая форма разлагается по базису форм
det(AB) =
X
i
1
<...<i
k
c
i
1
...i
k
dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
(b
1
, . . . b
k
) .
Коэффициенты разложения легко вычислить, полагая b
1
= e
j
1
, . . . b
k
= e
j
k
, где j
1
< j
2
<
. . . < j
k
:
c
j
1
...j
k
=
ha
1
|e
j
1
i . . . ha
1
|e
j
k
i
.
.
. . . .
.
.
.
ha
k
|e
j
1
i . . . ha
k
|e
j
k
i
= A
j
1
...j
k
.
Остается заметить, что
B
i
1
...i
k
= dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
(b
1
, . . . b
k
) .
Следствие 13.3. Пусть A — матрица n × k, составленная из векторов–столбцов
a
1
, . . . a
k
. Тогда объем S(G) k-мерного параллелепипеда G, построенного на векторах
a
1
, . . . a
k
, равен
S(G) =
s
X
i
1
<...<i
k
(A
i
1
...i
k
)
2
.
Доказательство. Вытекает из двух предыдущих теорем с учетом равенства (A
t
)
i
1
...i
k
=
A
i
1
...i
k
.

Страницы