Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 183 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
является ортогональным, в частности |det θ| = 1. Пусть b
i
= θ(a
i
) , i = 1, . . . k. Тогда
S(G) = |a
1
∧ . . . ∧a
k
∧ v
k+1
∧ . . . ∧v
n
| = |det θ|· |a
1
∧ . . . ∧a
k
∧ v
k+1
∧ . . . ∧v
n
|
= |θ(a
1
) ∧ . . . ∧θ(a
k
) ∧ θ(v
k+1
) ∧ . . . ∧θ(v
n
)| = |b
1
∧. . . ∧b
k
∧e
k+1
∧. . . ∧e
n
| = S(H) ,
где H — параллелепипед, построенный на векторах b
1
, . . . b
k
. Векторы b
i
= θ(a
i
) , i =
1, . . . k лежат в подпространстве, натянутом на векторы e
1
, . . . e
k
. Обозначим через B
матрицу порядка k, составленную из векторов-столбцов b
i
относительно упомянутого
подпространства. Тогда
S(G) = |det B| =
p
(det B)
2
=
√
det B
t
det B =
p
det(B
t
B) .
Заметим, далее, что
B
t
B =
hb
1
|b
1
i . . . hb
1
|b
k
i
.
.
. . . .
.
.
.
hb
k
|b
1
i . . . hb
k
|b
k
i
и, следовательно,
det(B
t
B) = det(hb
i
|b
j
i) = det(hθ(a
i
)|θ(a
j
)i) = det(ha
i
|a
j
i) = det(A
t
A) ,
поскольку ортогональное преобразование θ сохраняет скалярное произведение векторов.
Теорема 13.2 (Бине–Коши). Пусть A — матрица k × n и B — матрица n ×k. Тогда
det(AB) =
X
i
1
<...<i
n
A
i
1
...i
k
B
i
1
...i
k
,
где A
i
1
...i
k
— минор матрицы A при выборе столбцов с номерами i
1
, . . . i
k
, а B
i
1
...i
k
—
минор матрицы B при выборе строк с номерами i
1
, . . . i
k
.

Страницы