Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 187 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
кривой. Обобщение этого приема оказывается успешным и в случае определения площа-
ди поверхности. Однако в действительности мы откажемся от аккуратного воплощения
этой процедуры и воспользуемся ею только в качестве наводящего соображения к опре-
делению площади поверхности.
Пусть λ — разбиение куба J
k
на кубы и A — произвольный куб этого разбиения с
образующими he
1
, . . . he
k
в вершине u. В силу дифференцируемости θ
θ(u + he
i
) − θ(u) = θ
0
u
(he
i
) + o(|λ|) =
∂θ(u)
∂u
i
h + o(h) ,
следовательно, объем параллелепипеда, построенного на векторах
∂θ(u)
∂u
1
h , . . .
∂θ(u)
∂u
k
h
должен служить хорошей аппроксимацией для площади поверхности куска θ(A). Мат-
рица, образованная этими векторами–столбцами, равна с точностью до множителя h
матрице Якоби: hθ
0
u
, тогда в силу теоремы 13.1
S(θ(A)) ≈
p
det[h
2
(θ
0
u
)
t
θ
0
u
] =
p
det[(θ
0
u
)
t
θ
0
u
] · h
k
=
p
det[(θ
0
u
)
t
θ
0
u
] · V (A) .
Суммируя по всем кубам разбиения, получим сумму Римана для интеграла
S(G) =
Z
J
k
p
det[(θ
0
)
t
θ
0
] .
Теорема 13.5. Пусть G — k-мерная клетка в R
n
и f : G → R — непрерывная функция,
определенная на G. Пусть θ и ϕ — две параметризации клетки G. Тогда
Z
J
k
f ◦ θ ·
p
det[(θ
0
)
t
θ
0
] =
Z
J
k
f ◦ ϕ ·
p
det[(ϕ
0
)
t
ϕ
0
] .

Страницы