Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 188 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Пусть θ(u) = ϕ(v). Линейные отображения θ
0
u
и ϕ
0
v
, оба ранга k,
отображают пространство R
k
на одно и то же линейное подпространство L размерности
k в R
n
. Действительно, в силу дифференцируемости θ и ϕ
θ(u + th) −θ(u) =
t→0
tθ
0
u
(h) + o(t) ,
ϕ(v + k) − ϕ(v) =
|k|→0
ϕ
0
v
(k) + o(|k|) .
Выберем вектор k = k(t) так, чтобы ϕ(v + k) = θ(u + th) (такой вектор существует
и определен однозначно в силу взаимной однозначности отображения ϕ). По теореме о
неявной функции, см. приложение C, делаем заключение о непрерывности функции k(t)
в нуле, при этом k(0) = 0. Более того, ввиду максимальности ранга ϕ
0
v
(с учетом k 6 n)
|ϕ
0
v
(k)| > C|k|,
откуда |k(t)| = O(t) при t → 0 и, следовательно,
θ
0
u
(h) = lim
t→0
ϕ
0
v
k(t)
t
.
Это означает, что вектор θ
0
u
(h) лежит в пространстве значений линейного отображения
ϕ
0
v
и аналогичное заключение можно сделать, меняя ролями θ и ϕ. Подпространство
L, образованное векторами θ
0
u
(h) при h ∈ R
k
, называется касательным пространством
(касательной плоскостью) к поверхности G в точке x = θ(u), а векторы из L называются
касательными векторами к G в точке x.
Итак, линейные отображения θ
0
u
, ϕ
0
v
взаимно однозначно отображают пространство
R
k
на касательное пространство L. Как следствие, взаимно однозначное отображение
T = θ
−1
◦ϕ : J
k
→ J
k
является непрерывно дифференцируемым на J
k
, причем det T
0
6= 0.
В силу ϕ = θ ◦T , получим
(ϕ
0
)
t
ϕ
0
= ((θ ◦ T )
0
)
t
(θ ◦ T )
0
= ((θ
0
◦ T ) · T
0
)
t
· θ
0
◦ T · T
0
= (T
0
)
t
· (θ
0
◦ T )
t
· θ
0
◦ T · T
0
,

Страницы