Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 190 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказанная теорема (т.е. независимость интеграла от параметризации клетки) явля-
ется основанием для следующего определения.
Определение 13.6. Пусть G — клетка и θ — ее параметризация. Интеграл
Z
J
k
f ◦ θ ·
p
det[(θ
0
)
t
θ
0
]
называется поверхностным интегралом 1 рода от функции f : G → R и обозначается
через
Z
G
f или
Z
G
f dS .
Интеграл
S(G) =
Z
G
1 =
Z
G
dS
называется площадью поверхности G.
Сделаем несколько элементарных замечаний. Во-первых, понятие параметризации θ
клетки G легко расширить до случая, когда θ определено на брусе D ∈ R
k
(с сохранением
других свойств отображения θ). При этом
Z
G
f =
Z
D
f ◦ θ ·
p
det[(θ
0
)
t
θ
0
] .
Это немедленно вытекает из теоремы о замене переменных в кратном интеграле, по-
скольку брус D может быть линейным преобразованием переведен в куб J
k
. Более того,
понятие поверхностного интеграла 1-го рода легко расширить на такие разрывные функ-
ции f , для которых суперпозиция f ◦θ (при выборе разных параметризаций θ), является

Страницы