Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 191 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
интегрируемой функцией. Это означает, что в качестве области интегрирования D может
фигурировать не только брус, но и более сложные жордановы области в R
k
. Далее, поня-
тие площади поверхности и поверхностного интеграла 1-го рода можно распространить по
аддитивности на кусочно–гладкие поверхности, состоящие из конечного числа k-мерных
клеток, пересекающихся лишь по клеткам размерности не больше (k − 1). Таким об-
разом, соображения аддитивности и формула замены переменных в кратном интеграле
позволяют охватить различные ситуации, возникающие в приложениях. Несколько более
подробное обсуждение этих вопросов будет сделано позже при знакомстве с понятием
ориентируемого многообразия.
Примеры. 1) Рассмотрим поверхность G, которая задана как график функции z =
f(x, y), определенной на области D ⊂ R
2
. В этом случае параметризация θ поверхности
G может быть описана равенствами
x = x ,
y = y ,
z = f(x, y) ,
откуда
θ
0
=
1 0
0 1
∂f
∂x
∂f
∂y
, det[(θ
0
)
t
θ
0
] =
1 0
0 1
2
+
1 0
∂f
∂x
∂f
∂y
2
+
0 1
∂f
∂x
∂f
∂y
2
= 1+
∂f
∂y
2
+
∂f
∂x
2
и, следовательно,
S(G) =
ZZ
D
s
1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dxdy .
Аналогично, в случае (n − 1)-мерной поверхности G в R
n
, заданной уравнением
x
n
= f(x
1
, . . . x
n−1
) ,

Страницы