Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 195 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Так, например, в R
3
ZZZ
D
f(x, y, z) dx ∧dy ∧ dz =
ZZZ
D
f(x, y, z) dxdydz .
Заметим, что имеет место следующее утверждение.
Теорема 13.7. Пусть θ — непрерывно дифференцируемое отображение R
n
u
→ R
n
x
и ω
— дифференциальная форма объема на R
n
x
: ω = fΩ
x
, Ω
x
= dx
1
∧ . . . ∧ dx
n
. Тогда
θ
∗
ω = f ◦ θ ·det θ
0
· Ω
u
, Ω
u
= du
1
∧ . . . ∧ du
n
.
Доказательство. Прежде всего напомним, что если A — линейное преобразование в
R
n
, то
A(e
j
) =
n
X
i=1
A
ij
e
i
, A(e
1
) ∧ . . . ∧ A(e
n
) = det A · e
1
∧ . . . ∧ e
n
.
Но, по определению,
θ
∗
ω = f ◦ θ ·θ
∗
(dx
1
) ∧ . . . ∧ θ
∗
(dx
n
) ,
при этом
θ
∗
(dx
j
) =
n
X
i=1
∂x
j
∂u
i
du
i
= A(du
j
) .
Последнее равенство следует рассматривать как определение линейного отображения A в
векторном пространстве 1-форм; поскольку суммирование совершается по индексу строки
матрицы A, то матрица A совпадает с транспонированной матрицей к матрице Якоби:
A = (θ
0
)
t
, θ
0
=
∂x
1
∂u
1
. . .
∂x
1
∂u
n
.
.
. . . .
.
.
.
∂x
n
∂u
1
. . .
∂x
n
∂u
n
.
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- …
- следующая ›
- последняя »
