Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 197 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Это означает, что понятие интеграла от формы зависит от ориентации пространства: при
изменении ориентации интеграл меняет знак. Подчеркнем, однако, что по абсолютной
величине интеграл от формы не зависит от выбора ортонормированного базиса в R
n
.
Переход к другому ортонормированному базису осуществляется ортогональным преобра-
зованием θ, при этом det θ = ±1, а в силу линейности θ имеем θ
0
= θ. Это доказывает
корректность нашего определения.
Пусть теперь G — k-мерная клетка в R
n
с параметризацией θ : D → G, т.е. G =
θ(D). Пусть, далее, ω — k-форма, определенная в окрестности клетки G. Положим по
определению
Z
G
ω
Опр.
=
Z
D
θ
∗
ω .
Следует обратить внимание на то, что форма θ
∗
ω является формой объема в R
k
и ин-
теграл в этом случае был определен выше. Если ω — моном: ω = f dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
, то
согласно теореме 13.7
θ
∗
ω = f ◦ θ ·
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(u
1
, . . . u
k
)
· du
1
∧ . . . ∧ du
k
,
где
∂(x
i
1
,...x
i
k
)
∂(u
1
,...u
k
)
— минор матрицы Якоби
θ
0
=
∂x
1
∂u
1
. . .
∂x
1
∂u
k
.
.
. . . .
.
.
.
∂x
n
∂u
1
. . .
∂x
n
∂u
k
,
отвечающий выбору строк с номерами i
1
, . . . i
k
.
Для выяснения геометрического смысла интеграла заметим , что в силу определения
определителя линейного преобразования
dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
(θ
0
u
(v
1
), . . . θ
0
u
(v
k
)) =
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(u
1
, . . . u
k
)
· v
1
∧ . . . ∧ v
k
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- …
- следующая ›
- последняя »
