Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 198 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Подставим в эту формулу в качестве векторов v
i
векторы s
1
, . . . s
k
ортонормированного
базиса в R
k
u
, дуального к формам du
1
, . . . du
k
, при этом s
1
∧ . . . ∧ s
k
= 1, тогда
Z
G
f dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
=
Z
D
f(θ(u)) · dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
(θ
0
u
(s
1
), . . . θ
0
u
(s
k
)) du
1
. . . du
k
и в общем случае, ввиду равенств θ
0
u
(s
j
) =
∂θ(u)
∂u
j
,
Z
G
ω =
Z
D
ω
θ(u)
(θ
0
u
(s
1
), . . . θ
0
u
(s
k
)) du
1
. . . du
k
=
Z
D
ω
θ(u)
∂θ(u)
∂u
1
, . . .
∂θ(u)
∂u
k
du
1
. . . du
k
.
(13.2)
Здесь справа стоит многократный интеграл от функции. Векторы
∂θ(u)
∂u
1
, . . .
∂θ(u)
∂u
k
явля-
ются касательными векторами к поверхности G в направлении координатных кривых
локальных координат u
1
, . . . u
k
, т.е. при движении точки θ(u) по поверхности G, когда
меняется лишь одна из координат u
i
.
Пример. Пусть клетка G имеет параметризацию θ : D → R
3
, D = [0, 1] × [0, 1],
определенную равенствами
x = u + v , y = u − v , z = uv .
Пусть ω = x dy ∧dz + y dx ∧ dz. Найдем интеграл
R
G
ω.
Первый способ.
θ
∗
ω = (u + v)(du −dv) ∧(v du + u dv) + (u − v)(du + dv) ∧(v du + u dv)
= (u + v)(u du ∧dv − v dv ∧ du) + (u − v)(u du ∧ dv + v dv ∧ du)
= (u + v)
2
du ∧ dv + (u − v)
2
du ∧ dv = 2(u
2
+ v
2
) du ∧ dv .
Тогда
Z
G
ω = 2
Z
D
(u
2
+ v
2
) du ∧ dv = 2
1
Z
0
u
2
du
1
Z
0
dv + 2
1
Z
0
du
1
Z
0
v
2
dv =
4
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- …
- следующая ›
- последняя »
