Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 196 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Согласно упомянутому выше свойству внешнего произведения
A(du
1
) ∧. . . ∧ A(du
n
) = det A · du
1
∧ . . . ∧ du
n
= det θ
0
· du
1
∧ . . . ∧ du
n
.
Следствие 13.8. В условиях предыдущей теоремы при u, v
1
, . . . v
n
∈ R
n
:
(θ
∗
ω)
u
(v
1
, . . . v
n
) = ω
θ(u)
(θ
0
u
(v
1
), . . . θ
0
u
(v
n
)) .
Доказательство. Достаточно заметить, что значение формы du
1
∧. . . ∧du
n
на векторах
v
1
, . . . v
n
равно определителю этих векторов:
du
1
∧ . . . ∧ du
n
(v
1
, . . . v
n
) = v
1
∧ . . . ∧ v
n
,
а по свойству внешнего произведения
θ
0
u
(v
1
) ∧ . . . ∧ θ
0
u
(v
n
) = det θ
0
u
· v
1
∧ . . . ∧ v
n
.
Доказанная теорема 13.7 имеет еще одно следствие. Если θ — непрерывно диффе-
ренцируемое отображение R
n
→ R
n
, удовлетворяющее условиям теоремы 5.9 о замене
переменной, то
Z
D
θ
∗
ω = ±
Z
θ(D)
ω .
Знак в формуле зависит от знака определителя det θ
0
:
Z
D
θ
∗
ω =
Z
D
f ◦ θ ·det θ
0
= ±
Z
D
f ◦ θ ·|det θ
0
| = ±
Z
θ(D)
f = ±
Z
θ(D)
ω .

Страницы