Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 200 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где
|θ
0
i
1
,...i
k
| =
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(u
1
, . . . u
k
)
.
В точке x = θ(u) положим
n
i
1
...i
k
(x) =
1
N(u)
·
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(u
1
, . . . u
k
)
.
Определение этих функций не зависит от выбора параметризации клетки G при условии
сохранения ориентации клетки. Именно, если ϕ — другая параметризация, ϕ = θ ◦ T и
det T
0
> 0, то при x = ϕ(v) значение той же функции будет определятся равенством
n
i
1
...i
k
(x) =
1
K(v)
·
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(v
1
, . . . v
k
)
, K =
p
det[(ϕ
0
)
t
ϕ
0
] .
Действительно, как мы видели раньше, см. (13.1),
K = N ◦ T · |det T
0
|, т.е. K(v) = N(u) ·det T
0
v
,
а согласно правилу дифференцирования сложной функции и теореме умножения опреде-
лителей
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(v
1
, . . . v
k
)
=
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(u
1
, . . . u
k
)
·
∂(u
1
, . . . u
k
)
∂(v
1
, . . . v
k
)
=
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(u
1
, . . . u
k
)
· det T
0
v
.
Это позволяет нам определить k-форму в R
n
dS
Опр.
=
X
i
1
<...<i
k
n
i
1
...i
k
dx
i
1
∧ . . . ∧dx
i
k
.
Эта форма и называется формой площади поверхности G, поскольку согласно определе-
ния интеграла от формы
Z
G
dS =
Z
D
X
i
1
<...<i
k
n
i
1
...i
k
·
∂(x
i
1
, . . . x
i
k
)
∂(u
1
, . . . u
k
)
· du
1
. . . du
k
=
Z
D
N = S(G) .

Страницы