Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 202 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда ее форма площади имеет вид
dS =
n
X
i=1
n
b
i
dx
1
∧ . . .
c
dx
i
. . . ∧dx
n
,
где
n
b
i
=
M
i
N
, M
i
=
∂(x
1
, . . . cx
i
. . . x
n
)
∂(u
1
, . . . u
n−1
)
, N =
v
u
u
t
n
X
i=1
M
2
i
.
Если положить
N =
n
X
i=1
(−1)
i+1
n
b
i
e
i
, (13.3)
то
dS = NyΩ , Ω = dx
1
∧ . . . ∧ dx
n
,
см. (10.3). Очевидно, что длина вектора N равна единице: |N| = 1. Нетрудно найти его
геометрический смысл. Действительно,
hN|
∂θ
∂u
j
i =
1
N
n
X
i=1
(−1)
i+1
M
i
·
∂x
i
∂u
j
=
1
N
·
∂θ
∂u
j
∧
∂θ
∂u
1
∧ . . . ∧
∂θ
∂u
n−1
= 0 ,
где мы воспользовались теоремой Лапласа о разложении определителя с одинаковыми
первым и j-ым столбцами по [первому] столбцу.
15
Но векторы
∂θ
∂u
j
являются касательны-
ми к поверхности G. Это означает, что вектор N является единичным вектором нормали
к поверхности G. Направление этого вектора зависит от ориентации клетки, т.е. от вы-
бора базиса в локальной системе координат. При изменении ориентации клетки вектор
нормали меняет знак. Имея это в виду говорят, что клетка является двусторонней по-
верхностью. Выбор ориентации клетки равносилен выбору стороны этой поверхности, а в
15
M
i
являются минорами в этом разложении

Страницы