Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 203 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
случае (n−1)-мерной поверхности — равносилен выбору вектора нормали к поверхности.
Заметим, что векторы N,
∂θ
∂u
1
, . . .
∂θ
∂u
n−1
задают стандартную ориентацию пространства R
n
.
Действительно, по теореме Пуассона о разложении определителя по первому столбцу
N∧
∂θ
∂u
1
∧. . .∧
∂θ
∂u
n−1
=
n
X
i=1
N
i
·(−1)
i+1
M
i
=
1
N
n
X
i=1
(−1)
i+1
M
i
·(−1)
i+1
M
i
=
1
N
·N
2
= N > 0 .
(13.4)
Отметим следующее свойство формы площади (n − 1)-мерной поверхности: на каса-
тельных векторах имеет место равенство
n
b
i
dS = dx
1
∧ . . .
c
dx
i
. . . ∧dx
n
. (13.5)
Действительно,
n
b
i
dS
∂θ
∂u
1
, . . .
∂θ
∂u
n−1
=
M
i
N
n
X
j=1
n
b
j
· dx
1
∧ . . .
d
dx
j
. . . ∧ dx
n
∂θ
∂u
1
, . . .
∂θ
∂u
n−1
=
M
i
N
n
X
j=1
n
b
j
·
∂(x
1
, . . . cx
j
. . . x
n
)
∂(u
1
, . . . u
n−1
)
=
M
i
N
2
n
X
j=1
M
2
j
=
M
i
N
2
· N
2
= M
i
и
dx
1
∧ . . .
c
dx
i
. . . ∧ dx
n
∂θ
∂u
1
, . . .
∂θ
∂u
n−1
=
∂(x
1
, . . . cx
i
. . . x
n
)
∂(u
1
, . . . u
n−1
)
= M
i
.
Например, в трехмерном случае, если N = (cos α, cos β, cos γ), то на касательных векто-
рах
cos α dS = dy ∧ dz ,
cos β dS = dz ∧ dx ,
cos γ dS = dx ∧ dy .

Страницы