Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 201 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Примеры. Найдем форму площади сферы в трехмерном пространстве.
Единичная сфера в R
3
задается в сферических координатах равенствами:
x = cos ϕ sin θ , y = sin ϕ sin θ , z = cos θ .
Тогда
∂(x, y)
∂(θ, ϕ)
=
cos ϕ cos θ −sin ϕ sin θ
sin ϕ cos θ cos ϕ sin θ
= cos θ sin θ ,
∂(x, z)
∂(θ, ϕ)
=
cos ϕ cos θ −sin ϕ sin θ
−sin θ 0
= −sin ϕ sin
2
θ ,
∂(y, z)
∂(θ, ϕ)
=
sin ϕ cos θ cos ϕ sin θ
−sin θ 0
= cos ϕ sin
2
θ
и следовательно
N =
q
(cos θ sin θ)
2
+ (−sin ϕ sin
2
θ)
2
+ (cos ϕ sin
2
θ)
2
= sin θ ,
n
12
= cos θ = z , n
13
= −sin ϕ sin θ = −y , n
23
= cos ϕ sin θ = x ,
т.е.
dS = z dx ∧dy − y dx ∧ dz + x dy ∧ dz
= x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy .
Рассмотрим, также, (n − 1)-мерную клетку G в R
n
, определенную параметризацией
θ :
x
1
= x
1
(u
1
, . . . u
n−1
) ,
.
.
.
x
n
= x
n
(u
1
, . . . u
n−1
) .

Страницы