Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 23 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Пусть λ — разбиение бруса D такое, что каждый брус B
j
представим объединением
брусов A из разбиения λ. Функция f непрерывна на D r E, тем более — на F = D r
k
[
j=1
◦
B
j
. Множество F является замкнутым (и ограниченным), а потому — компактным.
По теореме Кантора A.9 функция f равномерно непрерывна на F . Пусть δ > 0 таково,
что
P, Q ∈ F и |P Q| < δ ⇒ |f(P ) − f(Q)| <
ε
2V (D)
.
Разбиение λ будем считать столь мелким, что |λ| < δ (напомним, что |λ| — ранг разбие-
ния, т.е. наибольший диаметр ячеек разбиения). Тогда
X
по A из λ
M
A
(f)V (A) −
X
по A из λ
m
A
(f)V (A) =
X
по A из λ
[M
A
(f) − m
A
(f)]V (A) =
X
0
+
X
00
.
Здесь сумма
P
0
берется по тем ячейкам A из разбиения λ, которые вписаны в брусы
покрытия B
1
, . . . B
k
, при этом
X
0
6 2M
k
X
j=1
V (B
j
) < 2M ·
ε
4M
=
ε
2
.
Сумма
P
00
берется по остальным ячейкам разбиения, т.е. тем, которые вписаны в F и на
которых колебание функции мало, при этом:
X
00
<
ε
2V (D)
X
V (A) 6
ε
2V (D)
· V (D) =
ε
2
.
Итак,
σ
∗
(f, λ) − σ
∗
(f, λ) =
X
0
+
X
00
<
ε
2
+
ε
2
= ε ,
откуда, в силу критерия интегрируемости 1.9, и вытекает утверждение теоремы.

Страницы