Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 24 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Как элементарное следствие доказанной теоремы получаем утверждение об интегри-
руемости непрерывной функции или функции, имеющей конечное число точек разрыва.
Так, функция f, равная нулю на брусе D всюду, за исключением конечного числа то-
чек, интегрируема. Заметим, что при этом нижние суммы Дарбу будут равны нулю и,
следовательно, интеграл от такой функции также равен нулю. Как следствие этого фак-
та и линейности интеграла заключаем, что интегрируемость функции не нарушится и
значение интеграла не изменится, если функцию изменить в конечном числе точек.
Для того, чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие интегрируемости
функции в терминах множества ее точек разрыва нам придется несколько расширить
понятие множеств объема-ноль. Это будет сделано в следующем параграфе.
2.2. Множества меры-ноль
Определение 2.4. Множество A ⊂ R
n
имеет меру-ноль (mes A = 0 ), если для любого
фиксированного ε > 0 существует покрытие множества A последовательностью брусов
B
j
, j ∈ N , суммарный объем которых меньше ε:
mes A = 0
Опр.
⇐⇒ ∀ε > 0 ∃
∞
[
j=1
B
j
⊃ A :
∞
X
j=1
V (B
j
) < ε .
Как и в случае объема-ноль в этом определении покрытие замкнутыми брусами может
быть заменено на открытое покрытие:
Лемма 2.5.
mes A = 0 ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃
∞
[
j=1
◦
B
j
⊃ A :
∞
X
j=1
V (B
j
) < ε ,
где
◦
B
j
— внутренность бруса B
j
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
