Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 26 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда
A ⊂
[
i,j>1
B
ij
и
X
i,j>1
V (B
ij
) <
∞
X
i=1
ε
2
i
= ε .
Множества объема-ноль безусловно являются множествами меры-ноль. Обратное, во-
обще говоря, не верно и разница между этими понятиями существенна. Например, гра-
ница множества объема-ноль сама является множеством объема-ноль:
vol A = 0 ⇒ vol ∂A = 0 .
Это вытекает из того факта, что объединение конечного числа замкнутых брусов являет-
ся замкнутым множеством и, как следствие, покрытие множества A брусами B
1
, . . . B
k
,
является также покрытием замыкания A. Однако объединение бесконечного числа за-
мкнутых множеств уже может не быть множеством замкнутым, а как следствие, граница
множества меры-ноль может не быть уже множеством меры-ноль. Например, множество
рациональных чисел Q на прямой R является множеством меры-ноль, при этом, однако,
∂Q = R.
Теорема 2.7. Компактное множество меры-ноль имеет объем-ноль.
Доказательство. Очевидна ввиду лемм 2.2 и 2.5 и определения A.5 компактности мно-
жества.
Следствие 2.8. Пусть A — ограниченное множество в R
n
. Тогда
mes ∂A = 0 ⇐⇒ vol ∂A = 0 .
Доказательство. Граница множества — замкнута. В силу теоремы A.7 граница ограни-
ченного множества — компактна.

Страницы