Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 27 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теорема 2.9 (Критерий интегрируемости функции). Пусть D — брус в R
n
и E —
множество точек разрыва ограниченной функции f : D → R. Тогда
f — интегрируема на D ⇐⇒ mes E = 0 ,
т.е. ограниченная функция интегрируема тогда и только тогда, когда множество
ее точек разрыва имеет меру-ноль.
Доказательство. ⇐
Положим
ω
P
(f) = lim
r→0
ω
B
r
(P )
(f) ,
где ω
B
r
(P )
(f) — колебание функции f в шаре B
r
(P ) радиуса r с центром в точке P ,
см. (1.4). Этот предел существует (ввиду убывания [нестрого] функции ω
B
r
(P )
(f) при
убывании r) и называется колебанием функции f в точке P. Очевидно, функция f
непрерывна в точке P тогда и только тогда, когда ее колебание в точке P равно нулю.
Заметим, что множество точек F = {P ∈ D : ω
P
(f) > ε} — замкнуто и, как
следствие, компактно. Действительно, если P /∈ F, то либо P /∈ D, либо ω
P
(f) < ε. В
последнем случае по теореме о перерастании предела
∃r > 0 : ω
B
r
(P )
(f) < ε .
Положим r = 2ρ и рассмотрим точку Q ∈ B
ρ
(P ). Заметим, что
|QR| < ρ ⇒ |PR| 6 |P Q| + |QR| 6 ρ + ρ = r ,
т.е. B
ρ
(Q) ⊂ B
r
(P ). Отсюда, если Q ∈ D,
ω
Q
(f) 6 ω
B
ρ
(Q) 6 ω
B
r
(P )
(f) < ε .
Таким образом,
P ∈ R
n
r F ⇒ B
ρ
(P ) ⊂ R
n
r F ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
