Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 37 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3. Теорема Фубини
3.1. Сведение кратного интеграла к повторному
Пусть A — брус в R
n
, B — брус в R
m
. Тогда A × B — брус в R
n+m
. Рассмотрим
функцию f : A × B → R. Значение этой функции при P ∈ A , Q ∈ B мы будем
естественно обозначать через f(P, Q). Для каждого фиксированного P ∈ A положим
f
P
(Q) = f (P, Q), чем определим семейство функций f
P
: B → R. Определим, далее,
еще две функции ϕ
∗
, ϕ
∗
: A → R, полагая
ϕ
∗
(P ) = I
∗
(f
P
) = sup
λ
B
σ
∗
(f
P
, λ
B
) ,
ϕ
∗
(P ) = I
∗
(f
P
) = inf
λ
B
σ
∗
(f
P
, λ
B
) ,
где λ
B
— разбиение бруса B. Заметим, что по построению ϕ
∗
6 ϕ
∗
.
Теорема 3.1 (Фубини). Если функция f интегрируема на A ×B, то функции ϕ
∗
и ϕ
∗
интегрируемы на A, причем
Z
A×B
f =
Z
A
ϕ
∗
=
Z
A
ϕ
∗
.
Доказательство. Пусть λ
A
и λ
B
— разбиения брусов A и B соответственно. Тогда
λ = (λ
A
, λ
B
) — разбиение бруса A × B. Ячейка S разбиения λ имеет вид S
A
× S
B
, где
S
A
и S
B
— ячейки, соответственно, разбиений λ
A
и λ
B
. Заметим, что при этом V (S) =
V (S
A
)V (S
B
), где объемы относятся, соответственно, к пространствам R
n+m
, R
n
, R
m
.
Тогда,
σ
∗
(f, λ) =
X
по S из λ
m
S
(f)V (S) =
X
по S
A
из λ
A
X
по S
B
из λ
B
m
S
(f)V (S
B
)
V (S
A
) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
