Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 58 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
2. Антисимметричность (кососимметричность):
Ω(. . . x . . . x . . .) = 0 .
Любую функцию, линейную по своим аргументам, достаточно уметь вычислять на ба-
зисных комбинациях векторов: форма Ω однозначно задается своими n
n
значениями
Ω(e
i
1
, . . . e
i
n
) ,
где e
1
, . . . e
n
— базисные векторы. Однако в силу антисимметричности, среди этих значе-
ний большинство заведомых нулей (если среди индексов i
1
, . . . i
n
имеются одинаковые).
Неравные нулю значения появляются лишь в случае, когда индексы i
1
, . . . i
n
образуют
перестановку чисел 1, 2, . . . n. Заметим, далее, что перестановка любых двух аргументов
функции Ω влечет изменение знака функции:
0 = Ω(. . . x + y, . . . x + y, . . .)
= Ω(. . . x, . . . x, . . .) + Ω(. . . x, . . . y, . . .) + Ω(. . . y, . . . x, . . .) + Ω(. . . y, . . . y, . . .)
= Ω(. . . x, . . . y, . . .) + Ω(. . . y, . . . x, . . .) ,
откуда
Ω(. . . x, . . . y, . . .) = −Ω(. . . y, . . . x, . . .) .
Это означает, что все ненулевые значения Ω(e
i
1
, . . . e
i
n
) (на перестановках векторов ба-
зиса) определяются одним единственным значением Ω(e
1
, . . . e
n
) и отличаются от него
лишь множителем равным, знаку перестановки:
Ω(e
i
1
, . . . e
i
n
) = sgn i · Ω(e
1
, . . . e
n
) .
Отсюда вытекает, что полилинейные антисимметричные n-формы образуют одномерное
векторное пространство. Стандартную базисную форму объема, т.е. удовлетворяющую
нормировке
Ω(e
1
, . . . e
n
) = 1 ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
