Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 59 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
называют определителем векторов и обозначают символом det. Значение определителя
на векторах x
1
, . . . x
n
называют внешним произведением векторов x
1
∧ . . . ∧ x
n
:
x
1
∧ . . . ∧ x
n
= det(x
1
, . . . x
n
) .
Если разложить векторы x
1
, . . . x
n
по базису и записать эти разложения подряд в стол-
бики, получим стандартную форму записи определителя в виде квадратной таблицы:
x
j
=
n
X
i=1
x
ij
e
i
=
x
1j
.
.
.
x
nj
, x
1
∧ . . . ∧ x
n
=
x
11
. . . x
1n
.
.
. . . .
.
.
.
x
n1
. . . x
nn
.
Рассмотрим произвольную ненулевую форму объема Ω и пусть θ — линейное отобра-
жение R
n
→ R
n
. В этом случае мы можем определить еще одну форму объема:
Ω
θ
(x
1
, . . . x
n
) = Ω(θ(x
1
), . . . θ(x
n
))
(полилинейность и антисимметричность ее очевидны). В силу одномерности пространства
форм объема форма Ω
θ
пропорциональна исходной форме Ω: Ω
θ
= λ · Ω, т.е.
Ω
θ
(x
1
, . . . x
n
) = λΩ(x
1
, . . . x
n
) .
Априори, число λ может зависеть как от θ, так и от Ω, т.е. λ = λ(θ, Ω). Оказывается, что
в действительности, коэффициент λ не зависит от Ω. Действительно, пусть µ — коэффи-
циент пропорциональности форм объема Υ и Ω: Υ = µΩ. Тогда, в силу определения, он
будет являться также коэффициентом пропорциональности форм Υ
θ
и Ω
θ
: Υ
θ
= µΩ
θ
. Но
тогда
Υ
θ
= λ(θ, Υ)Υ и Υ
θ
= µΩ
θ
= µλ(θ, Ω)Ω = λ(θ, Ω)µΩ = λ(θ, Ω)Υ ,
откуда λ(θ, Υ) = λ(θ, Ω). Итак, коэффициент λ есть функция только отображения θ.
Значение этой функции λ(θ) называют определителем линейного отображения θ и
обозначают через det θ:
Ω
θ
= det θ · Ω .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
