Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 7 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
1. Какие множества (на плоскости или в пространстве, соответственно) можно брать
для построения кратного интеграла?
2. Какие подмножества допустимы при разбиениях?
3. Что такое площадь или объем, соответственно?
Эти вопросы, в действительности, весьма трудны и неоднозначны. Чтобы дать пред-
ставление о возникающих на этом пути трудностях, коснемся понятий площади и объема.
Под площадью S мы понимаем неотрицательную функцию S(D) > 0, определенную
на плоских множествах D такую, что
1. Площадь прямоугольника со сторонами длины a и b равна произведению ab,
2. S(D
1
∪ D
2
) = S(D
1
) + S(D
2
) если множества D
1
и D
2
не пересекаются,
3. Площадь множества не меняется при его жестком перемещении (конгруэнтные фи-
гуры имеют равные площади).
Аналогично, под объемом V мы понимаем неотрицательную функцию V (D) > 0,
определенную на множествах D ⊂ R
3
такую, что
1. Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами длины a, b и c равна произведе-
нию abc,
2. V (D
1
∪ D
2
) = V (D
1
) + V (D
2
), если множества D
1
и D
2
не пересекаются,
3. Объем множества не меняется при его жестком перемещении (конгруэнтные тела
имеют равные объемы).
Параллели, казалось бы, очевидны. При этом, однако, доказано (С.Банах), что пло-
щадь существует, хотя и не единственна, т.е. существуем много разных функций S,
определенных на произвольных плоских множествах и удовлетворяющих описанным вы-
ше свойствам. Все эти функции для сравнительно простых множеств показывают одно и

Страницы