Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 86 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
6.3. Абсолютная интегрируемость функций
В случае произвольной локально интегрируемой функции f положим
f
+
(P ) =
(
f(P ) , при f(P ) > 0,
0 , при f(P ) < 0
и f
−
(P ) =
(
−f(P ) , при f(P ) 6 0,
0 , при f(P ) > 0 .
По определению f
±
> 0 и
f = f
+
− f
−
.
Теорема 6.3. Если |f| — абсолютно интегрируема, то и f — абсолютно интегриру-
ема.
5
Доказательство. Заметим, что |f| = f
+
+ f
−
, откуда f
±
6 |f| и, следовательно, f
±
—
абсолютно интегрируемы, а тогда абсолютно интегрируема функция f (как их разность).
Теорема 6.4. Если f — абсолютно интегрируема, то |f | — также абсолютно инте-
грируема.
Доказательство. Предположим противное. Тогда либо f
+
, либо f
−
является абсолютно
неинтегрируемой. Допустим, для определенности, что f
+
не является абсолютно инте-
грируемой. Это означает, что интеграл
R
B
f
+
, где B — компактное и жорданово под-
множество в G, можно сделать сколь угодно большим за счет выбора B. Обозначим
через F
0
множество, существование которого оговаривается в определении абсолютной
интегрируемости функции f и которое обладает свойством
F
0
⊂ A ⊂ G ⇒
Z
A
f −
Z
F
0
f
6 1 .
5
при условии, что f — локально интегрируема
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
