Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 120 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
В силу аддитивности интеграла
π
Z
−π
|f(x)|
2
dx =
+∞
X
n=−∞
n+1
Z
n
|
b
f(ξ)|
2
dξ =
+∞
Z
−∞
|
b
f(ξ)|
2
dξ .
Рассмотрим теперь общий случай, считая, что функция f(x) обращается в ноль вне
интервала [−l, l]. Тогда функция g(x) = f(ax), где a =
l
π
, обращается в ноль вне
интервала [−π, π] и для нее верно равенство
+∞
Z
−∞
|g(x)|
2
dx =
π
Z
−π
|g(x)|
2
dx =
+∞
Z
−∞
|bg(ξ)|
2
dξ .
Но
+∞
Z
−∞
|f(x)|
2
dx =
+∞
Z
−∞
f(at)
2
a dt = a
+∞
Z
−∞
|g(x)|
2
dx
и, согласно теореме подобия,
bg(ξ) = b
b
f(bξ) , b =
1
a
,
откуда
+∞
Z
−∞
|
b
f(ξ)|
2
dξ =
+∞
Z
−∞
|
b
f(bη)|
2
b dη = a
+∞
Z
−∞
|bg(η)|
2
dη .
Перейдем к основному исследованию.

Страницы