Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 121 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Если g(x) — финитная гладкая функция, то по теореме Фурье 5.2 интеграл
1
√
2π
N
Z
−N
bg(ξ)e
iξx
dξ = g ∗ D
N
(x) =
F
∗
Γ
N
bg
(x) =
F
∗
Γ
N
F g
(x)
сходится к функции g(x) при N → ∞. Ревизия доказательства теоремы Фурье пока-
зывает, что эта сходимость для финитной бесконечно дифференцируемой функции
является равномерной по x на любом конечном интервале.
Пусть функция g обращается в ноль вне интервала [a, b] и пусть K достаточно
велико, так что [a, b] ⊂ (−K, K). Тогда утверждение о равномерной сходимости
примет вид
max
x∈[−K,K]
|g(x) −g ∗ D
N
(x)| →
N→∞
0 .
Воспользуемся неравенством
kg − g ∗ D
N
k 6
√
2K max
x∈[−K,K]
|g(x) −g ∗ D
N
(x)| +
v
u
u
t
Z
|x|>K
|g ∗ D
N
(x)|
2
dx .
Напомним, что
Z
|x|>K
|g ∗ D
N
(x)|
2
dx =
Z
|x|>K
dx
1
π
b
Z
a
g(t)
sin N(x −t)
x −t
dt
2
и в силу неравенства Минковского
v
u
u
u
t
Z
|x|>K
dx
1
π
b
Z
a
g(t)
sin N(x −t)
x −t
dt
2
6
1
π
b
Z
a
dt |g(t)|
v
u
u
t
Z
|x|>K
sin
2
N(x −t)
(x − t)
2
dx

Страницы