Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 123 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Заметим далее, что
g ∗ D
N
− f ∗ D
N
= h ∗D
N
= F
∗
Γ
N
F h, , h = g − f ,
и в силу леммы A.2
kF
∗
Γ
N
F hk = kΓ
N
F hk 6 kF hk = khk.
(здесь лемма была использована в обоих равенствах). Как следствие
kf − f ∗ D
N
k < ε ,
т.е.
kf − f ∗ D
N
k →
N→∞
0 .
Полученное соотношение будет выполняться и для кусочно непрерывных финит-
ных функций, т.к. такие функции могут быть аппроксимированы в среднеквадра-
тичном с любой степенью точности непрерывными финитными функциями, после
чего предыдущая аргументация повторяется дословно.
Пусть, наконец, f(x) — кусочно непрерывная квадратично интегрируемая функ-
ция. Заметим, что опять с использованием леммы A.2
v
u
u
u
t
B
Z
A
dx
Z
K6|t|6L
f(t)D
N
(x − t) dt
2
6
v
u
u
u
t
+∞
Z
−∞
dx
Z
K6|t|6L
f(t)D
N
(x − t) dt
2
= kF
∗
Γ
N
F (Γ
L
f − Γ
K
f)k = kΓ
N
F (Γ
L
f − Γ
K
f)k 6 kF (Γ
L
f − Γ
K
f)k
= kΓ
L
f − Γ
K
fk =
v
u
u
t
Z
K6|x|6L
|f(x)|
2
dx .

Страницы