Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 122 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Интеграл по x в правой части неравенства сходится равномерно относительно N
и t ∈ [a, b] и, если K достаточно велико, может быть сделан сколь угодно малым
независимо от N. Пусть ε > 0 произвольно. Согласно сделанной оценке можно
выбрать K столь большим, что независимо от N
v
u
u
t
Z
|x|>K
|g ∗ D
N
(x)|
2
dx <
ε
2
,
Фиксировав K, выберем N столь большим, чтобы
√
2K max
x∈[−K,K]
|g(x) −g ∗ D
N
(x)| <
ε
2
,
откуда заключаем, что при N → ∞ для финитной гладкой функции g
kg − g ∗ D
N
k → 0 .
Пусть теперь f — финитная непрерывная функция. Мы можем аппроксимировать
ее равномерно финитной гладкой функцией, см. пункт 6. В силу финитности отсюда
вытекает, что функция f может быть аппроксимирована финитной гладкой функцией
g (с любой степенью точности) в среднеквадратичном. Фиксируем ε > 0 и пусть
kf − gk <
ε
3
.
Заметим, что в силу неравенства треугольника
kf − f ∗ D
N
k 6 kf − gk + kg − g ∗ D
N
k + kg ∗ D
N
− f ∗ D
N
k.
Выберем N столь большим, чтобы
kg − g ∗ D
N
k 6
ε
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- …
- следующая ›
- последняя »
