Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 25 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Фиксируем ε > 0 и выберем такое δ по числу
ε
M
, где M = max
06t62π
|f(t)|. Тогда при
|x −x
0
| < δ
|f ∗g (x) −f ∗ g (x
0
)| =
1
2π
2π
Z
0
f(t)[g(x − t) − g(x
0
− t)] dt
6
1
2π
2π
Z
0
|f(t)||g(x − t) − g(x
0
− t)|dt
6
ε
M
·
1
2π
2π
Z
0
|f(t)|dt 6
ε
M
· M = ε .
Теорема 2.9. Пусть f — периодическая с периодом 2π и непрерывная функ-
ция. Если функция g является непрерывно дифференцируемой периодической с
периодом 2π, то свертка f ∗ g также является непрерывно дифференцируемой
периодической с периодом 2π и
(f ∗g)
0
(x) =
1
2π
2π
Z
0
f(t)g
0
(x − t) dt .
Доказательство. Следствие теоремы о дифференцировании интеграла по парамет-
ру: в данном случае частная производная подынтегральной функции
∂
∂x
[f(t)g(x − t)] = f(t)g
0
(x − t)
является непрерывной функцией обеих переменных.

Страницы