Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 27 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Докажем теперь ассоциативность.
(f ∗g) ∗ h (x) =
1
2π
2π
Z
0
f ∗g (t)h(x − t) dt =
1
4π
2
2π
Z
0
2π
Z
0
f(s)g(t − s)h(x − t) dsdt
=
1
4π
2
2π
Z
0
ds f(s)
2π −s
Z
−s
g(u)h(x − s − u) du =
1
4π
2
2π
Z
0
ds f(s)
2π
Z
0
g(u)h(x − s − u) du
=
1
2π
2π
Z
0
f(s)g ∗ h (x − s) ds = f ∗ (g ∗ h ) (x) .
Для приложений важность понятия свертки определяется следующим свойством,
которое также объясняет свойства, описанные в предыдущей теореме.
Теорема 2.12. Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с перио-
дом 2π функции. Тогда
c
n
(f ∗ g) = c
n
(f) · c
n
(g) ,
где c
n
— коэффициент Фурье соответствующей функции относительно орто-
нормированной системы экспонент e
n
.
Доказательство. Заметим, сначала, что
f ∗ e
n
(x) =
1
2π
2π
Z
0
f(t)e
in(x−t)
dt = e
inx
1
2π
2π
Z
0
f(t)e
−int
dt = c
n
(f)e
n
(x) ,
так что
f ∗ e
n
= c
n
(f)e
n
. (2.12)

Страницы