Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 28 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда
c
n
(f∗g) = (f∗g)∗e
n
(0) = f∗(g∗e
n
) (0) = f∗[c
n
(g)e
n
] (0) = c
n
(g)f∗e
n
(0) = c
n
(g)c
n
(f) .
В приложениях отображение f 7→ f ∗ g описывает прохождение сигнала f через
фильтр g. В результате амплитуда c
n
(f) n-ой гармоники сигнала умножается на
c
n
(g). Заметим, что в силу теоремы Римана-Лебега, не может существовать идеаль-
ного фильтра, не искажающего сигнал:
6 ∃g : f ∗ g = f .
Но вернемся к теореме 2.9. Она позволяет установить одно важное для дальней-
шего свойство.
Обозначим через C
1
2π
множество непрерывно дифференцируемых периодических
с периодом 2π функций. Это подмножество в C
2π
.
Теорема 2.13 (Плотность C
1
2π
в C
2π
). Множество функций C
1
2π
плотно в C
2π
,
т.е. ∀f ∈ C
2π
и ∀ε > 0 ∃g ∈ C
1
2π
:
kf − gk
∞
def
= max
06x62π
|f(x) −g(x)| < ε .
Доказательство. Функция f — равномерно непрерывна и, следовательно, для
∀ε > 0 ∃δ > 0 : |x
2
− x
1
| < δ ⇒ |f(x
2
) − f(x
1
)| < ε .
Пусть ε > 0 фиксировано и δ найдено. Возьмем произвольно функцию ω ∈ C
1
2π
,
удовлетворяющую следующим условиям:
1. ω(x) > 0 ,

Страницы